证明:若群G的n阶子群有且只有一个,则此子群必为 G的正规子群.
答案:2 mip版
解决时间 2021-01-30 17:56
- 提问者网友：夜落花台
- 2021-01-29 21:20
近世代数题
最佳答案
- 二级知识专家网友：就当涐的真心喂了狗
- 2021-01-29 22:17
给你写个详细点的，肯定对的证明好了：
设H是G的n阶子群，任取G中一个元素g,
构造如下集合H(g)={ghg^(-1)|h属于H}
现在证明H(g)是G的子群。
任取gh1g^-1,gh2g^-1属于H(g)
则，gh1g^-1*(gh2g^-1)^-1=g(h1h2^-1)g^-1
因为h1h2^-1属于H,所以g(h1h2^-1)g^-1属于H(g)
所以H(g)是G的子群。且由消去律知道gh1g^-1=gh2g^-1可以推出h1=h2
所以|H(g)|=n 又因为H是G中唯一的n阶子群，所以H(g)=H
即任取g属于G 任取h属于H 有 ghg^-1属于H 所以H是G的正规子群
容易验证gH和Hg都是G的n阶子群，但是G得n阶子群只有一个
所以有gH=Hg=H, 所以H是G的正规子群
设H是G的n阶子群，任取G中一个元素g,
构造如下集合H(g)={ghg^(-1)|h属于H}
现在证明H(g)是G的子群。
任取gh1g^-1,gh2g^-1属于H(g)
则，gh1g^-1*(gh2g^-1)^-1=g(h1h2^-1)g^-1
因为h1h2^-1属于H,所以g(h1h2^-1)g^-1属于H(g)
所以H(g)是G的子群。且由消去律知道gh1g^-1=gh2g^-1可以推出h1=h2
所以|H(g)|=n 又因为H是G中唯一的n阶子群，所以H(g)=H
即任取g属于G 任取h属于H 有 ghg^-1属于H 所以H是G的正规子群
容易验证gH和Hg都是G的n阶子群，但是G得n阶子群只有一个
所以有gH=Hg=H, 所以H是G的正规子群
全部回答
- 1楼网友：最强暴君
- 2021-01-29 22:55
基本上所有的抽象代数的书上都会有这条定理：如果群g是交换的，并且阶为p*q（p，q为素数），那么g一定是循环群。
证明一般用的是柯西定理或者希洛定理。以下证明用到柯西定理。
柯西定理：若g是一个有限群且p是一个可整除g的阶（g的元素数目）的质数，则g会有一个p阶的元素。
在本题中15=3*5，所以群中一定有一个三阶的元素a和一个5阶的元素b。那么c=a*b一定是一个15阶的元素。由此可证该群一定是由c生成的循环群。
楼主如果对细节还有问题的话，可以给我留言。
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