若定义在非零实数集上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),且f(x)是区间（0，+∞）上的增函数

若定义在非零实数集上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),且f(x)是区间 （0，+∞）上的增函数
（1）证明f(x)是偶函数
（2）解不等式f(x)+f(x-1/2)≤0

1）证:当y=x时,有f(x^2)=f(x)+f(x),
即f(x)=f(x^2)/2
那么f(-x)=f[(-x)^2]/2=f(x^2)/2
∴f(x)=f(-x)∴f(x)是偶函数
2）根据题设有f(x)+f(x-1/2)=f[(x)+(x-1/2)]=f(2x-1/2)
那么也就是解不等式f(2x-1/2)≤0
∵f(1×1)=f(1)=f(1)+f(1)=2f(1)∴f(1)=0;
即f(2x-1/2)≤f(1)
∵f(x)是偶函数,又∵f(x)是区间（0，+∞）上的增函数
∴|2x-1/2|≤1
∴-1/2≤x≤3/2

空气质量的高低,可以用污染指数来表示,如污染指数为51-100,则表示1）证:当y=x时,有f(x^2)=f(x)+f(x), 即f(x)=f(x^2)/2 那么f(-x)=f[(-x)^2]/2=f(x^2)/2 ∴f(x)=f(-x)∴f(x)是偶函数 2）

1) 令x=y=0 f(0)=2f(0) f(0)=0 令x=1 y=0 f(0)=f(1)+f(0) f(1)=0

令x=-1 y=0 f(0)=f(-1)+f(0) f(-1)=0

2）令y=-1 所以f(-x)=f(x)+f(-1) f(-x)=f(x)+0 f(x)=f(-x) f(x)为偶函数

3)f(2)+f(x-1/2)≤0

f(2)≤-f(x-1/2)=f(x-1/2)

因为f(x)是区间(0,＋∞)上的增函数

所以2≤x-1/2

x≥5/2

（2）小题： 根据题设有f(x)+f(x-1/2)=f[x(x-1/2)]=f[x^2-(1/2)x] 那么也就是解不等式f[x^2-(1/2)x] ≤0 ∵f(1×1)=f(1)=f(1)+f(1)=2f(1)∴f(1)=0; 即f[x^2-(1/2)x] ≤f(1) ∵f(x)是偶函数,又∵f(x)是区间（0，+∞）上的增函数 ∴|f[x^2-(1/2)x] |≤1 (1-根号17)/4≤x|≤(1+根号17)/4

如以上问答内容为低俗/色情/暴力/不良/侵权的信息，可以点下面链接进行举报，我们会做出相应处理，感谢你的支持！

点此我要举报以上问答信息