对于定义在区间D上的函数f（x）和g（x），如果对于任意x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，那么称函数f（

对于定义在区间D上的函数f（x）和g（x），如果对于任意x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，那么称函数f（x）在区间D上可被函数g（x）替代．（1）若f(x)＝x2?1x，g(x)＝lnx，试判断在区间[[1，e]]上f（x）能否被g（x）替代？（2）记f（x）=x，g（x）=lnx，证明f（x）在(1m，m)(m＞1)上不能被g（x）替代；（3）设f(x)＝alnx?ax，g(x)＝?12x2+x，若f（x）在区间[1，e]上能被g（x）替代，求实数a的范围．

（1）∵f(x)?g(x)＝
x
2 ?
1
x ?lnx，
令h(x)＝
x
2 ?
1
x ?lnx，
∵h′(x)＝
1
2 +
1
x2 ?
1
x ＝
x2+2?2x
2x2 ＞0，
∴h（x）在[1，e]上单调增，
∴h(x)∈[?
1
2 ，
e
2 ?
1
e ?1]．
∴|f（x）-g（x）|≤1，即在区间[[1，e]]上f（x）能被g（x）替代．
（2）记k（x）=f（x）-g（x）=x-lnx，可得k/(x)＝
x?1
x
当
1
m ＜x＜1时，k′（x）＜0，在区间(
1
m ，1)上函数k（x）为减函数，
当1＜x＜m时，k′（x）＞0，在区间（1，m）上函数k（x）为增函数
∴函数k（x）在区间的最小值为k（1）=1，最大值是k（m）＞1，
所以不满足对于任意x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，
故f（x）在(
1
m ，m)(m＞1)上不能被g（x）替代；
（3）∵f（x）在区间[1，e]上能被g（x）替代，
即|f（x）-g（x）|≤1对于x∈[1，e]恒成立．
∴|alnx?ax+
1
2 x2?x|≤1．?1≤alnx?ax+
1
2 x2?x≤1，
由（2）知，当x∈[1，e]时，x-lnx＞0恒成立，
∴有a≤

1
2 x2?x+1
x?lnx ，
令F(x)＝

1
2 x2?x+1
x?lnx ，
∵F′(x)＝
(x?1)(x?lnx)?(1?
1
x )(
1
2 x2?x+1)
(x?lnx)2 =
(x?1)(
1
2 x+1?lnx?
1
x )
(x?lnx)2 ，
由（1）的结果可知
1
2 x+1?lnx?
1
x ＞0，
∴F'（x）恒大于零，
∴a≤
1
2 ．
②a≥

1
2 x2?x?1
x?lnx ，
令G(x)＝

1
2 x2?x?1
x?lnx ，
∵G′(x)＝
(x?1)(x?lnx)?(1?
1
x )(
1
2 x2?x?1)
(x?lnx)2 =
(x?1)(
1
2 x+1?lnx+
1
x )
(x?lnx)2 ，
∵
1
2 x+1?lnx+
1
x ＞
1
2 x+1?lnx?
1
x ＞0，
∴G'（x）恒大于零，
∴a≥
e2?2e?2
2(e?1) ，
即实数a的范围为
e2?2e?2
2(e?1) ≤a≤
1
2

假设存在 |f(x)-g(x)/f(x)|<=1/10 |1-c/x^2|<=1/10恒成立 即9/10<=c/x^2<=11/10恒成立 1、c>=9/10x^2对于x属于[1，2]恒成立，c>=18/5 2、c<=11/10x^2对于x属于[1，2]恒成立，c<=11/10 1∩2为空集，所以c不存在 所以不能被替代

如以上问答内容为低俗/色情/暴力/不良/侵权的信息，可以点下面链接进行举报，我们会做出相应处理，感谢你的支持！

点此我要举报以上问答信息