已知A B为椭圆x^2/4+y^2/3=1的左右两个顶点 F为椭圆的右焦点

已知A B为椭圆x^2/4+y^2/3=1的左右两个顶点 F为椭圆的右焦点，
P为椭圆上异于A B点的任意一点 直线AP BP分别交直线l:x=m(m>2)
于M N点，l交x轴于C点

求 对任意给定的m值 求△MFN面积的最小值

高三数学市质检的压轴题，希望有人能解答。

？？？？？？？？？？？？？？

每个人答案都不一样？谁是对的呢？

由图形的对称性，不妨设P点在上半椭圆。设P坐标为(x,y)
过P作PH⊥AB于点H。
那么PH=y，HA=x+2，HB=2-x,AC=m+2,BC=m-2
MC/PH=AC/AH
所以：MC=PH*AC/AH=y(m+2)/(x+2)
NC/PH=BC/BH
所以：NC=PH*BC/BH=y(m-2)/(2-x)
MC*NC=y^2(m^2-4)/(4-x^2)
点P在椭圆上，所以：3x^2+4y^2=12,4-x^2=4y^2/3 代入上式得：
MC*NC=y^2(m^2-4)/(4y^2/3)=3(m^2-4)/4
这个值与P点位置无关，当m是定值，它也是定值。
根据平均值不等式：
MN=MC+NC>=2√MC*NC=√[3(m^2-4)]
即MN的最小值为√[3(m^2-4)]
FC=m-1也是定值。
所以：△MFN面积最小值为(m-1)*√[3(m^2-4)]/2
当且仅当MC=CN时能够取到。
即：y(m+2)/(x+2)=y(m-2)/(2-x)
(m+2)/(x+2)=(m-2)/(2-x)=2m/4=m/2
x=(m-2)/2
即：当x=(m-2)/2时，△MFN取到最小面积(m-1)*√[3(m^2-4)]/2

做任何数学题，画出图来就把题做出一半来了。

m给定则三角形的高为定值，因此我们只要求出MN的最小值即可。由对称性我们只考虑P在x轴上方 假设P（2cosθ，√3sinθ）（0＜θ＜π），A(-2,0),B(2,0)所以 PA方程为y=√3sinθ/(2cosθ+2)(x+2) 令x=m,yM=√3sinθ/(2cosθ+2)(m+2) PB方程为y=√3sinθ/(2cosθ-2)(x+2) 令x=m,yN=√3sinθ/(2cosθ-2)(m+2) 所以yM-yN=√3（m+2）/sinθ最小值为√3（m+2） 当θ=π/2时取得最小值，即P点为（0，√3）时取得 而高为m-1所以面积最小值为√3（m+2）*（m-1）/2

思路及解题过程：三角形高FC定值=m-1，求MN的最小值即可，求出MN两点纵坐标之差的绝对值即为三角形的底，设P（2cos@， √3*sin@）M：（m，y1） N：（m，y2） A、P、M三点共线，列出方程y1/(m+2)=(√3*sin@)/(2cos@+2); （1） B、P、N三点共线，列出方程y2/(m-2)=(√3*sin@)/(2cos@-2); （2） 由（1）（2）得出MN=(y1-y2)的绝对值=√3*（m-2cos@）/sin@ 上式对@求导，当导数为0，此时取得最小值，此时cos@=2/m,sin@= √1-4/m^2; 因此△MFN面积的最小值 =0.5*(m-1）* √3* （m-4/m）/(√1-4/m^2=0.5*√3* √（m^2-4)/(m-1),此时P点坐标：（4/m,√3*√(1-4/m^2)) 思路并不难，做数学题尤其注意解题思路的培养，明确了解题方向一步一步的来，没有什么不可能，加油啊 你自己照着思路做一遍就有答案了啊，谁对说错依你的答案

a(-2,0)b(2,0)c(m,0)f(1,0) (1)pf‖l,于是xp=1，代入椭圆：yp=±3/2,即p(1,±3/2) am为：x±2y+2=0 (2)设p为(x0,y0) 直线am为：y=y0(x+2)/(x0+2),m点：(4,6y0/(x0+2)) 同理：n(4,2y0/(x0-2)) 直线fm的斜率：2y0/(x0+2) 直线fn的斜率：2y0/3(x0-2) 而：2y0/(x0+2)*2y0/3(x0-2)=4y0^2/[3(x0^2-4)] 考虑到：x0^2/4+y0^2/3=1,即：4y0^2=12-3x0^2=3(4-x0^2) 于是：2y0/(x0+2)*2y0/3(x0-2)=-1 ∴fm⊥fn ∴以mn为直径的圆过f点

如以上问答内容为低俗/色情/暴力/不良/侵权的信息，可以点下面链接进行举报，我们会做出相应处理，感谢你的支持！

点此我要举报以上问答信息